[mathjax]$$E=mc^2$$この式は、アインシュタインによって導かれた式として非常に有名である。Eはエネルギー、mは質量、...\(-c^2t_1’^2+x_1’^2+y_1’^2+z_1’^2\)にローレンツ変換の式を代入する。運動系がx軸方向に速度Vで動いていると仮定すると、次のような変形が可能である。前の記事では、静止している系から運動している系の時計を見ると、時刻が遅れて見えることを確認した。参考:ローレンツ変換の意味と...静止している系から光速近くで動いている物体を観察する。すると、その物体は本来の長さ(物体が停止しているときの長さ)よりも短く見える。この現象...先ほどと同様に、ローレンツ変換の式を代入すればよい。(Mathjaxの仕様で一部の「’」がずれているので気を付けてください)ほとんどの相対性理論の本は、この「ローレンツ変換」から始まる。ローレンツ変換とは、異なる動き方をしている、2つの系の時刻や空間を結びつけるよ...© Copyright 2020 物理メモ.
特集 時空標準特集 80 情報通信研究機構季報Vol.56 Nos.3/4 2010 2 国際トレーサビリティ体系 計量標準の国際トレーサビリティを確保するた めには国家標準に対して基幹となる国際比較（基 この世界間隔は、ローレンツ変換に対して不変である。このことはつまり、世界間隔は慣性系によらず一定であることを意味する。このように、ローレンツ変換を施しても値が変わらない性質のことを、ローレンツ変換に対して共変的であるという。.
特殊相対性理論（とくしゅそうたいせいりろん、独: Spezielle Relativitätstheorie 、英: Special relativity ）とは、慣性運動する観測者が電磁気学的現象および力学的現象をどのように観測するかを記述する、物理学上の理論である。 アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した論文 に端を発する。 相対論で現れる世界間隔は不変距離や線素などとも呼ばれ、慣性座標の選び方によらずに一定値をとります。ここではこの世界間隔が慣性系の選び方によらないことを証明しま…
相対性理論の初歩に出てくる世界間隔の不変性がどうしてもわかりません。光の場合、光速度不変の原理からx^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - (ct')^2 ･･････(1)が成り立つことはすぐわかるのですが、光速以下の運動の場合でも(1)が成り立つ理由がわかりません。内山龍雄先生 …
また、\(ds\)を次のように定義する。
このことをローレンツ不変性(共変性)をもつという。 幾何学的には、ミンコフスキー空間における 2 点間の世界間隔を不変に保つような、原点を中心にした回転変換を表す（ミンコフスキー空間でみたローレンツ変換節参照）。 原点Oを通る観測者から見た慣性座標系を一つ固定すると、前述のようにその慣性系座標系における二つの位置ベクトル間のミンコフスキー内積はを1つ固定し、この慣性系において電磁気学を記述する。詳細は省くが、本節の記述は、他の慣性系で電磁気学を記述したものとローレンツ変換で移りあう事を確認できるので、特殊相対性理論に合致している。この定理はユークリッド空間における2つの正規直交基底が直交変換により写りあう事の類似である。今日の目から見ると、これは電磁気学とニュートン力学の間に明確な齟齬があった事に起因する。基底の変更に対する共変成分の変化を見るため、双対基底が基底の変更でどのような影響を受けるか調べる。このとき兄から見ると、弟の時計は遅れてみえ、逆に弟から見ると兄の時計は遅れてみえる事が特殊相対性理論から帰結される。特殊相対性理論以前のマックスウェル方程式の解釈には非対称性があった。本節では、質点の速度が光速を越えない限り、特殊相対性理論においても因果律が成り立つことを示す。今、ここに一組の双子がおり、二人は慣性運動しながら次第に離れているとする。と通常の内積のように書け、ミンコフスキー内積特有の符号の煩わしさから解放されるので便利である。のように添え字が両方下つき、もしくは両方上つきの場合はΣを省略しない。特殊相対性理論は、時空間をミンコフスキー空間として記述する理論である。それに対し特殊相対性理論では、4次元時空間のローレンツ変換に対して不変になるように理論を構築する必要があるので、ニュートン力学の概念をそのまま用いることばかりできない。ローレンツ変換の具体的な形を求める為、まずは基底をより解析がしやすいものに置き換える。基底が正規直交であれば、ミンコフスキー計量の成分表示は非常に簡単になり、固有時間について述べる前に、まず慣性系から見た時間についての公式を与える。なお、相対性原理理論の成果はそれまでのニュートン力学と次の意味で両立していなければならない相対性理論でテンソル場は中核に位置する概念であり、電磁場を初めとして様々なものをテンソル場として表現する。すでに電磁テンソルがローレンツ変換に対して共変であることを示したので、マクスウェル方程式を電磁場テンソルで表せば、マクスウェル方程式もローレンツ変換に対して共変であることを示せる。相対速度が光速を下回っている場合、積分内は常に1未満であるので、一方、相対性原理はガリレイの相対性原理を緩和したもので、全ての慣性座標系が等価であることは仮定するが、慣性座標系の間の変換則がガリレイ変換であるとは仮定しない。双対基底はミンコフスキー計量の成分表示を使って具体的に求めることができる。前述のように、正規直交基底は慣性座標系と対応している。よって上の定理は、以下を意味する。慣性座標系から別の慣性座標系への座標変換はローレンツ変換である。この縮約記法は行列の積や3項以上の場合にも同様に用いられ、例えばという形であり、ローレンツ変換がミンコフスキー空間における「回転」であったことを利用すれば、上の行列の(*)の部分が、本節では、ニュートン力学の諸概念を「4次元化」し、それがローレンツ変換(と平行移動)に対して不変になることを示すことで特殊相対性理論における力学を構築する。本節では、電磁気学の基本的な概念や方程式を特殊相対性理論に合致する形に書き換える。このことからニュートン力学はガリレイ変換に不変であるというガリレイの相対性原理は、特殊相対性理論では以下の形で成立していると考えられるよって電磁テンソルはローレンツ変換に対して共変であると結論づけられる。以下話を簡単にするため時間1次元+空間1次元の計2次元の場合について述べるが一般の場合も同様である。以下、とくに断りがない限り、質点、観測者の双方とも光速度以下であるものとする。をミンコフスキー内積としているものもあるので注意が必要である。と同一の形で表現できる。なお、リッチ計算の記法を用いると、上の式は本項では正規直交の場合にしか双対基底の概念を用いないが、一般相対性理論を定式化する際には一般の基底に対する相対基底が必要となる為、以下基底は正規直交とは限らない場合について述べる。ローレンツ収縮は、アインシュタインが特殊相対性理論を提案する以前に、ローレンツとフィッツジェラルドが独立に提案したものである。ユークリッド空間で内積を変えない線形変換は合同変換であるので、ローレンツ変換とは、ミンコフスキー空間における合同変換の対応物である。エーテル仮説は、エーテルによる「絶対静止座標系」が存在するという仮定を採用し、全ての慣性系は等価であるというガリレイの相対性原理を捨て去ったものであった。今日的な視点から見れば、これら2つのケースは単なる慣性系の取り替えに過ぎないにも関わらず、両者の解釈が異なるのは不自然である。事実、流れる電流の量はどちらのケースであっても同一であり、磁石とコイルの相対速度だけで決まる。上でも分かるように、双対基底は元の基底と空間方向の向きが反対である。ニュートン力学では、3次元空間のガリレイ変換に対して不変になるように理論が構築されている。以下の事実は、質点の速度が光速を越えない限り座標系の取り替えで因果律が破綻しない事を意味している：先に進む前に、特殊相対性理論で頻繁に用いられるテンソル代数の知識について述べる。ただしここでいう「時間の長さ」はc秒を1単位として数えた時間である。秒を単位とした時間の長さは原点を通る光の軌跡は、光円錐上にある直線である。観測者は光を使って物をみるので、過去の光円錐の上にある世界点が観測者に見える（もちろん、他の物体に遮られなければ）。すなわち相対論における運動方程式の空間成分は、ローレンツ力に関する運動方程式では次の状況はどうだろうか。やはり一組の双子がいて、弟は慣性運動している。一方、兄はロケットに乗って遠方まで行き、その後ロケットで弟のもとに帰ってきたとする。前述のように弟からみれば兄の時計は遅れるはずで、兄の時計からみれば弟の時計は遅れるはずなので、ふたりが再会したときに矛盾が生じるはずである。以上の指導原理をもとに、2つの慣性系の間の変換則を導く。まずはそのための準備として、変換則がどのようなものでなければならないかについて考察する。
特殊相対性理論入門 立川崇之 公開用第1 版 2012.8 e-mail: tatekawa (at) akane.waseda.jp 1 はじめに 本稿は，私が2005-2006 年度に物理学科の大学2 年生を対象とした「相対論」の講義を行った時の講義